論理学

I

プロローグ

正しい筋道でものを考えるための原理についての学問。あたえられた文(前提)から結論を正しくみちびく条件を研究する。「論理的に正しい」というのは、前提が正しければ結論もかならず正しくなるという、前提と結論の関係のことである。

しかし、論理の筋道の正しさと結論そのものの正しさは区別しなければならない。もし前提の中にひとつでもまちがったものがあれば、論理の筋道は正しくても結論はまちがっているかもしれない。「すべての哺乳類は陸上にすんでいる。すべてのクジラは哺乳類である。それゆえすべてのクジラは陸上にすんでいる。」という推論は、論理の筋道としては正しいが、前提がまちがっているため結論も正しくない。

逆に、「哺乳類の中には水中にすむものもいる。すべてのクジラは哺乳類である。それゆえすべてのクジラは水中にすんでいる。」というのは、論理の筋道としてはまちがっているが、たまたま結論は正しいという例である。このように、論理の筋道の正しさと結論そのものの正しさとは、かならずしも一致しない。

II

アリストテレスの論理学

古典論理学、あるいは伝統的論理学とよばれる論理学は、アリストテレスによって三段論法などの形ではじめて体系化された。

1

三段論法

三段論法は、4つの基本的判断の型(命題)をもとにしておこなわれる。4つの基本的判断の型とは、(1)すべてのAはBである(全称肯定)、(2)すべてのAはBでない(全称否定)、(3)あるAはBである(特称肯定)、(4)あるAはBでない(特称否定)、の4つである。AやBは、「クジラ」「哺乳類」といった概念(名辞)をあらわす。 三段論法は、この4つの基本的判断の型をもとに、3つないしはそれ以上の判断の間の相互関係をしらべることを目的とする。もっともよく知られた三段論法は、2つの判断すなわち前提(大前提・小前提)から、1つの判断すなわち結論をみちびくもので、2つの前提はそれぞれ1つの用語を結論と共有し、前提どうしも1つの用語を共有している。

たとえば、「すべての哺乳類は乳でそだつ」(大前提)、「すべてのクジラは哺乳類である」(小前提)、という2つの前提から、「すべてのクジラは乳でそだつ」という結論がみちびきだされる。ここで2つの前提は、それぞれ結論と「乳でそだつ」「クジラ」という用語を共有し、前提どうしは「哺乳類」という用語を共有している。

III

現代論理学

19世紀半ば、ブールとド・モルガンは記号論理学という新しい分野を切りひらいた。記号論理学はその後、フレーゲの著作やラッセルとホワイトヘッドの大著「プリンキピア・マテマティカ(数学原理)」(1910～13)によってさらに発展した。ラッセルとホワイトヘッドによる論理体系は、三段論法による体系よりはるかにひろい範囲におよんでいる。記号論理学は、命題(正しいか正しくないかがわかる文)を最小の論理的単位と考える命題論理学と、命題の内部構造も分析する述語論理学の2つに大きくわかれる。