数（すう）

I

プロローグ

ものの個数を数えたり、順序、大小や量のようなものをさししめす語または記号。数学の歴史とともに、数は意味の豊かさと複雑さをましてきた。

II

有理数

もっとも簡単な数は1, 2, 3, ... のような自然数である。自然数は、正の整数あるいは正の有理整数ともいう。自然数と自然数に負の記号をつけたもの、それにゼロ(0)をあわせたものが整数である。自然数全部の集合は、和と積に関してとじている。つまり、2つの自然数の和、および積はまた自然数である。2つの自然数の商(割り算の結果)は自然数とはかぎらないので、任意の2つの自然数の商を問題にするためには、正の分数を考える必要がある。ここで、自然数nは、分数 n/1 と同じものだとする。さらに、2つの正の分数の差は正の分数とはかぎらないので、負の分数(負の整数を含む)と0も考えておいたほうが便利である。正および負の整数と分数と0をあわせて、有理数という。

2つの有理数の和、差、積、および有理数を0でない有理数で割った商も有理数である。すべての有理数は循環小数、つまりある位から後ろが有限個の数からなるブロックのくりかえしとなる小数であらわされる。逆に循環小数は有理数をあらわす。たとえば、617/50 = 12.34000... や 2317/990 = 2.34040... などである。最初の例は有限小数ともいい、0のくりかえしをはぶいて、12.34と書くのがふつうである。第2の例は、4と0からなるブロックがくりかえされる循環小数であることをしめすために

とあらわす。

III

無理数

幾何学の発達とともに、さらに別種の数が必要になった。たとえば直角二等辺三角形の2辺の長さが1のとき、斜辺の長さは有理数であらわすことはできない。また、円周率も有理数ではない。こうして無理数をとりいれることが必要になってくる。小数に展開したときに有限小数にも循環小数にもならなければ、その数は無理数である。たとえば Ã = 1.4142135623... や p = 3.1415926535... は無理数で、小数に展開すると無限につづき、循環小数でもない。有理数と無理数をあわせて実数とよぶ。

IV

複素数

実数の平方は0または正の数である。したがって、方程式 x² = -1 は実数の範囲では解けない。このような方程式にも解をあたえようとするなら、新しい数をもちこまなければならない。i = Á を、この方程式の解をあらわす新しい数とする。a + bi (a、bは実数)の形の数を複素数といい、複素数全部の集合を複素数体という。bが0でない複素数を虚数といい、aが0でbが0でない複素数を純虚数という。bが0であれば、その複素数は実数である。複素数は電気回路の理論をはじめ、物理学など自然科学の分野でなくてはならないものになっている。さまざまな種類の数は、次の表にしめすような関係になっている。

1779年にドイツの数学者ガウスは、

xn + a1xn - 1 + ... + an - 1x + an = 0(a1, a2, ..., an は複素数)

の形のn次の代数方程式は少なくとも1つの複素数の根をもつことを証明した(→ 方程式論)。

実数は直線上の点としてあらわされるが、複素数は平面の点に対応させることができる。複素数 a + bi を xy 平面上で幾何学的にあらわすために、x軸を実数aの軸としてもちい、y軸を純虚数biの軸としてもちいる。複素数 a + bi は座標 (a, b) をもつ点Pに対応する。原点Oから点Pにいたるベクトルによって複素数 a + bi とあらわすと便利である。第1象限にある複素数 a + bi に -1 をかけると、ベクトルOPは180°回転して、点Pは第3象限に移る。反時計回りに90°の回転は、複素数にiをかけることに対応する。

歴史上、数に対してとくに興味深い考え方をしめしたのが、数秘学である。これは、数についての象徴的意味を手がかりに、物事にかくされた神秘をよみとろうとする試みである。もとにしているのは、ギリシャの哲学者で数学者であるピタゴラスの、万物は数であり、さまざまな幾何学的パターンからなっているという教義である。