対数

2つの数pとqと1でない正の数aに対して、a^p = qがなりたつとき、このべき指数(または累乗指数)pを、aを底(てい)とするqの対数といい、p = log_aqであらわす。このときまた、qを対数pの真数(または逆対数)という。たとえば、10² = 100であるから、10を底とする100の対数は2である。式で書けばlog₁₀ 100 = 2となる。実用的な数値の計算は10進法によることが多いので、10を底とする対数がよくもちいられ、これを常用対数という。また、高等数学では、底としてネーピア数とよばれる超越数eをもちいることが多い。これを自然対数といい、log_exの底eを省略してlogxとも書く。対数は、もとは、掛け算、割り算、累乗、べき指数の計算を簡単にするために考案されたものだが、現在では、純粋数学にも、応用数学にも、いろいろな目的のためもちいられている。たとえば、情報理論という分野では、情報量を定義するのに対数がもちいられる。その場合は、2を底とすることが多く、そのときの情報量の単位がビットである。

対数表は、1614年にスコットランドの数学者ジョン・ネーピアと、1620年にスイスの数学者ホプスト・ビュルギが、それぞれ別個に発表したのが最初である。常用対数の表は、イギリスの数学者ヘンリ・ブリッグスによって最初に編集された。対数表は、とくに当時の天文学の計算に利用され、その膨大な計算を簡単にするのに大いに役だったといわれる。

対数を利用すると、掛け算やべきなどの計算が簡単になる。それを説明するために、2のべきの列

21, 2², 2³, 24, 25,26

を例にとろう。これは、

2, 4, 8, 16, 32, 64

という数の列を意味する。これらの数の対数は、2を底とすれば1, 2, 3, 4, 5, 6である。2つの数の積は、それらの対数の和からもとめることができる。たとえば、16 × 4 をもとめるためには、16と4の対数4と2に着目し、その和をもとめると6である。6に対応する元の数(真数または逆対数)は64である。これがもとめる16と4の積である。また32を8で割るには、これらの対数5と3に着目し、5から3をひいて2をえる。2の真数がもとめる商であり、答は4である。

べきの計算は、対数についての掛け算からもとめることができる。たとえば、4³を計算するには、4の対数2に着目し、それを3倍すればよい。

3 × 2 = 6

だから、6の逆対数をとってもとめる数は64である。また32の5乗根をもとめるには、32の対数5に着目し、それを5分の1にすればよい。

5 ÷ 5 = 1

だから、1の逆対数をとって、もとめる数は2。つまり32の5乗根は2である。

対数表をつくるうえでいちばん問題になるのは、表にならべる数値の間隔をどれだけ小さくするかということである。上の例では、とびとびの数の列2, 4, 8, ...である。これでは大きい数の積を自在に計算するのにはとても役にたたない。数学の発達によって、任意の底をもつ任意の数の対数が計算でき、じゅうぶんに精密な対数表がつくれるようになった。すべての対数は、指標(または標数)とよばれる整数部分と、仮数とよばれる小数部分からなる。常用対数では、7の対数0.84510(小数点以下5桁まで有効)は指標0と仮数.84510をもっている。70の対数は1.84510で、700の対数は2.84510である。また0.7の対数は-0.15490であるが、計算上の便宜のため、9.84510 -10とも書く。最近は対数表にかわって、電卓や対数関数をそなえたコンピューターがつかわれるようになった。