三角形

I

プロローグ

3点とそれをむすぶ曲線とからなる多角形。ここで「直線」でなく「曲線」としたのは、三角形が平面以外の曲面、とくに球面でも定義されるからである。その3点をこの三角形の頂点、3つの曲線を辺という。ユークリッドの平面幾何学では、辺は線分である(図1)が、球面幾何学では、辺は大円の弧である(図10)(→ 幾何学：三角法と三角関数)。三角形という用語は、ひろくは、3つの頂点と任意の曲線でできた辺をもつ幾何学図形に対してもちいられる(図11)。

II

平面三角形

ユークリッド平面の三角形には3つの内角(たんに角ともいう)と6つの外角がある。内角は、図1のÐ CABのように、2つのとなりあった辺によってつくられ、外角は、図2のÐ FEGのように、1つの辺と1つの辺の延長線によってつくられる角である。頂点またはその頂点の内角、またはその内角の大きさをあらわすときには大文字のアルファベットをつかい、角の対辺またはその長さをあらわすのには、対応する小文字のアルファベットをつかうのがふつうである。辺またはその長さは、2つの頂点の記号を並べてあらわすこともある。たとえば、図1の角Aの対辺は、aまたはBCであらわすといった具合である。

0° ＜ A ＜ 90°のとき角Aは鋭角、A = 90°のとき角Aは直角、90° ＜ A ＜ 180°のとき角Aは鈍角という。

三角形の内角の和は180°に等しいから、90°より大きいか90°に等しい角は2つ以上はない。内角が全部鋭角であるときは鋭角三角形(図1)、1つの角が直角であるときは直角三角形(図3)、1つの角が鈍角であるときは鈍角三角形(図2)という。

また、辺の長さが全部ちがう三角形を不等辺三角形(図1)、2つの辺の長さが等しい三角形を二等辺三角形(図4)、3つの辺の長さが全部等しい三角形を正三角形(図5)という。

図3のHKのように、直角三角形の直角の対辺を斜辺という。二等辺三角形の等しい2辺がつくる角を頂角、第3の辺を底辺、底辺の両端の内角を底角という。

三角形の2つの辺が等しくないときは、それらに対する角も等しくなく、大きいほうの辺には大きいほうの角が対辺になっている。逆に、等しくない角に対する辺は等しくない。これらの性質から、不等辺三角形の3つの角はすべて等しくないといえる。

そのほか、平面三角形の辺と角の間には、二等辺三角形の底角は等しい、正三角形の角はすべて等しい、直角または鈍角の対辺はもっとも長い辺である、などの関係がある。三角形の角の大きさと対辺の長さとの関係は、さらに正確にしめすことができる(→ 三角法と三角関数)。

図6a、図6bのDXのように、1つの辺またはその延長線と直角にまじわる直線を、その辺にたてた垂線という。垂線とその辺との交点を垂線の足といい、垂線が、その垂線をたてた辺に相対する頂点をとおるとき、垂線の足からその頂点までの距離を、その三角形の高さという。三角形の3つの辺または頂点に対して、それぞれ垂線と高さが定義できる。

図7のANのように、頂点と対辺の中点をとおる直線を中線という。図8のARのように、頂点をとおりその頂点の内角を二等分する直線を内角二等分線という。同じく図8のAVのように、頂点の外角を二等分する直線を外角二等分線という。図9のHKのように、辺の中点で辺に直角にまじわる直線を垂直二等分線という。

三角形の3つの頂点をとおる垂線は1点でまじわる(図6a、図6bのO)。それを垂心という。

3つの中線も1点でまじわる(図7のM)。それを重心という。重心Mは中線を1対2の割合で2つの部分にわける。

3つの内角二等分線も1点でまじわる(図8のI)。それを内心という。内心は三角形の3つの辺に内接する円の中心である。

3つの外角二等分線は3点でまじわる(図8のU,V,W)。それらを傍心という。傍心は1辺に外接し、他の2辺の延長線に内接する3つの円の中心である。

3つの垂直二等分線も1点でまじわる(図9のH)。それを外心という。外心Hは3つの頂点をとおる円の中心になっている。

垂心、重心、内心、傍心、外心の5つを、三角形の五心という。

三角形の3辺の長さをa、b、cとし、y (a + b + c)をs、頂点Aの垂線の長さをh_aとすると、面積Kは公式

K = yaha = ÅÆÇÈÇÉÊ

によってあたえられる。ほかにも、三角形のいろいろな量と関連した多くの公式がある。

III

球面三角形

平面の三角形の性質のうちの多くが球面の三角形についてもなりたつ。しかし、この2つの形の三角形の間には、重要な違いがある。たとえば、球面三角形の内角の和は、その形や大きさがかわるにつれて、180°と540°の間でかわる。球面三角形の1つの角が直角であるとき、これを直角球面三角形、2つまたは3つの角が直角であるときは、それぞれ二直角球面三角形または三直角球面三角形という。1つの辺が四分円(大円の1/4の弧)であるときは、これを象限球面三角形とよび、2つまたは3つの辺が四分円であるときは、それぞれ二象限球面三角形または三象限球面三角形とよぶ。→ 球