数学的証明

数学において、ある主張が正しいことをはっきりとしめす議論を、証明という。

現代数学では、出発点となる主張(前提)が正しければ、結論づけようとする主張も正しいことを、論理規則によってみちびきだす手続きが証明だと考えられている。

昔から、いろいろな方法が発展してきたし、また証明についての考え方もかわってきた。一例として、三平方の定理(ピタゴラスの定理)について考えてみよう。この定理は、直角三角形の斜辺の長さの2乗が、直角をはさむ2辺の長さの2乗の和になることを主張している。この主張は、古代から各地で正しいとみとめられていた。実際の観察事実と一致していたからである。しかし、ギリシャ人は、観察した結果や常識がそのまま数学的にも正しいとは考えなかった。たとえば、前5世紀以前の人々には、どんな長さでも整数の比としてあらわせることはあたりまえだと思われていた。ところが、あるギリシャの数学者(名前はわかっていない)が、そうでないことを証明した。正方形の対角線の長さと1辺の長さの比は、どのような整数の比によってもあらわせないことに気づいたのである。その比はÃという無理数になる。

三平方の定理は、図1、図2をつかって証明できる。A、Bを直角をはさむ2辺の長さ、Cは斜辺の長さとして、A² + B² = C²が証明したい主張である。図1は、A + B を1辺とする正方形が、4個の直角三角形とAを1辺とする正方形、Bを1辺とする正方形に分割されることをしめしている。図2は、同じ A + B を1辺とする正方形が、4個の直角三角形とCを1辺とする正方形に分割されることをしめしている。それぞれから4個の直角三角形をとりさってものこりは等しい。ということで、A² + B² = C²がしめされるのである。

ギリシャの数学者ユークリッドは、前300年ごろに「原論(Stoicheia：ストイケイア)」という本を書いて、その中に幾何学や代数学の証明をしめした。これらの証明は、すでに正しいとわかっている主張から、きちんとした論理的手順をふんで結論をみちびきだすものであった。とくに、最初の出発点としてだれもが正しいとみとめる主張をいくつかえらびだし、それらを公理とよんだ。数学的に正しい主張は、そこから順に証明されるもので、定理とよばれた。

長い間、この「原論」の立場は、そのままうけいれられていたが、19世紀になって、「原論」で明らかに正しい出発点だと考えた主張(公理)のひとつを否定しても、数学の論理はなりたつことがわかってきた。これをきっかけに、数学とは何か、証明とは何かが問題にされるようになった。

20世紀の初めに、ドイツの大数学者ヒルベルトは、矛盾を生みださない基礎から出発して、きちんとした論理的規則によってつくられる体系でさえあれば、どんな内容でも数学としてみとめられるとした。だから、基礎となる出発点の主張(公理)は、「原論」における場合とことなり、どういうものであってもよい。それからの議論が成立すればよいのである。ただし、その数学的体系が矛盾をふくまないことを、理論的構成をしらべて証明しなければならない。こうして、証明の形式や数学的体系の構造を、あらためて研究する数学の分野(数学基礎論)が生まれてきた。