III.

アルキメデスの方法

正多角形は、nを辺(角)の数、隣接する2つの頂点と中心をむすんでできる角度の1/2をラジアンでしめしてθ( = p/n)とすると、内接多角形の1辺の長さは、

i = 2rsin θ

外接多角形の1辺の長さは、

c = 2rtan θ

となる。そこで円周Cは、

ni ＜ C ＜ nc

となり2rで割って円周率の範囲をもとめると、

nsin θ ＜ p ＜ ntan θ

となり、nを大きくしていくと、nsin θとntan θの差は小さくなり、高い精度でpの値がもとめられる。

この方法は、古代ギリシャの数学者アルキメデスが考えたもので、一般にアルキメデスの方法という。アルキメデス自身の時代は、三角法(→ 三角法と三角関数)も代数的方法もつかえなかったが、円に外接および内接する正96角形をえがいて、円周率は3‡と3の間にあることを正確にしめした。同じ方法で、5～6世紀のインドで活躍した天文学者アールヤバタは3.1416、中国では魏晋南北朝時代の祖冲之(429～500)は概算(約率)で22/7、高精度(密率)で355/113と計算している。

この方法は、日本にもつたわり、17～18世紀の村松茂清、関孝和、鎌田俊清など和算の大家がこぞって計算した。